Sem ter acesso ao roteador, não vejo isso acontecendo.
Primeiro você precisa pensar na rede, seu servidor público fica em um lado do firewall e tem um endereço IP público. então o servidor que você quer que atenda algumas das páginas está dentro do firewall e tem um endereço IP não público.
A menos que você possa acessar o roteador / firewall e inserir a regra que diz que os pedidos que chegam ao link devem ser encaminhados para o endereço interno endereço de xxx.xxx.xxx.xxx, então eu realmente não vejo isso sendo capaz de ser realizado.
Se você é capaz de fazer isso, então seus caras de segurança de rede corporativa precisam ser demitidos, porque há um grande buraco no firewall.
Para qualquer pessoa que veja minha resposta, esta é uma rede corporativa e essa pessoa não tem acesso ao firewall ou roteador para definir regras de roteamento para servidores internos.
Assim, a resposta final é ir até o pessoal de segurança da sua rede, ou quem controla o seu firewall, e pedir que ele crie a regra para permitir que o tráfego da Internet chegue ao seu servidor no interior do firewall, mas você precisará verifique se o servidor é muito seguro.
Espero que isso ajude. Chris