Basicamente, o bootloader do GRUB é o software que carrega o kernel do Linux. (Tem outros usos também). É o primeiro software que inicia na inicialização do sistema.
Quando o computador é iniciado, o BIOS executa primeiro um autoteste de inicialização (POST) para verificar o hardware, como a memória, as unidades de disco e o funcionamento correto.
Em seguida, o BIOS verifica o registro mestre de inicialização (MBR), que é uma seção de 512 bytes localizada primeiro no disco rígido. Ele procura por um gerenciador de inicialização (como o GRUB). As tabelas de partições do disco rígido também estão localizadas aqui.
Em seguida, você será solicitado pelo menu GRUB, que pode conter uma lista dos sistemas operacionais instalados, ou talvez os diferentes kernels instalados em uma distribuição Linux.
Quando você escolhe qual distro ou kernel deseja usar, o GRUB carrega o kernel selecionado. O kernel inicia o init (ou systemd), que é o primeiro processo para iniciar no Linux. O Init inicia outros processos, como serviços de rede e outros que você pode ter configurado para iniciar no momento da inicialização.
O processo de inicialização contém muitas expressões e termos definidos, muito a acrescentar em uma resposta simples como essa. Google é seu amigo!
Lembre-se que esta é uma explicação muito básica do processo de boot e do papel do GRUB nele.
Este vídeo do YouTube fornece uma boa introdução ao processo de inicialização do Linux, incluindo informações básicas sobre o GRUB Bootloader:
Entendendo o processo de boot do Linux - CompTIA Linux +, LPIC-1