O erro em si é bastante auto-explicativo: System.DllNotFoundException: wininet.dll - você está perdendo wininet.dll , um item proprietário do Windows. Então temos que instalá-lo.
Você poderia tentar fazer isso: winetricks wininet - ele tentará e instalará a DLL. No entanto, isso é relatado para trabalhar e não funcionar dependendo da sua versão do Wine.