Você precisará confirmar sua suposição de que o roteador está procurando fora da rede local pelo servidor DNS. Confirmar o que você pensa aqui é complicado. Quando você não tem um roteador, você pode fazer um rastreamento completo de pacotes, é quase impossível.
Efetivamente, porém, o seu roteador está apenas obtendo esses servidores DNS para que ele possa, posteriormente, fornecê-los às máquinas dentro do DHCP. Isso ocorre porque, na maior parte, as pesquisas de DNS ocorrem no nível cliente / máquina / estação de trabalho , não no roteador, a menos que seu roteador tenha um encaminhador DNS que encaminha a saída de pesquisas de DNS. Assim, os próprios computadores contam com o endereço IP como determinado. O roteador é inteligente o suficiente para saber que o endereço IP está na sub-rede da LAN interna (há uma lógica programada para saber quais são os intervalos de rede privada dicados pelo RFC em vez de públicos e bogons) a Internet. No entanto, o destino IP do pacote DNS é determinado na maior parte das máquinas do terminal internamente, em vez do roteador.
Você deve conseguir alterar as configurações de DHCP no roteador para que as máquinas conectadas ao roteador obtenham automaticamente a entrada do servidor DNS para a máquina interna em vez dos servidores ISP. De lá, você deve ser capaz de testar se o seu DNS interno está funcionando como deveria. Nunca é demais manter os servidores DNS do ISP (ou se você é paranoico, do Google) como backups nas máquinas do terminal, caso o servidor de ligação não funcione.