Além disso, é possível que o driver do seu chipset gráfico precise ser atualizado de alguma forma para aumentar o controle, mas duvido que pareça que você tem coisas funcionando na maior parte do tempo.
Não estou ciente de qualquer diferença inerente entre monitores e TVs com entrada HDMI que o impeça de ter êxito, mas é possível que o computador associe o último monitor primário conhecido (aquele usado sem o outro) para uso principal. Você pode tentar desconectar seu monitor principal antigo para ver se isso é importante.