Eu duvido que o Java tenha alguma relação com o seu problema de login, a menos que tenha sido muito usado pelo site. Os navegadores são culpados e, claro, um website. Eu posso adivinhar as seguintes possibilidades:
* novos navegadores lançaram alguns protocolos SSL que o site está usando (houve um grande choque recentemente, o chamado ataque POODLE SSL);
* ou talvez o site deles tenha mudado, isso acontece às vezes;
* ou, infelizmente, pode haver um trojan bancário na sua máquina (baixa probabilidade, mas não zero) - tente fazer o login de outra máquina;
* ou, dizem eles sobre sites de parceiros de terceiros, após o login, seu navegador pode tentar redirecionar para algum site que bloqueia o trabalho.
É quase impossível diagnosticar algo que não pode ser reproduzido (como posso logar para ver).
De qualquer forma, sugiro que você entre em contato com o pessoal de suporte bancário e ele será pago para ajudar os clientes.
Nota: é possível instalar o Java 7 antigo sem problemas.