A variável $MAIL aponta para a localização da sua conta de e-mail do sistema (ou seja, onde o Postfix, o Exim, ... soltaria seus e-mails ao usar sendmail ou mail para enviar um e-mail para um usuário local), no entanto, esta variável não é usada por nenhum cliente gráfico de E-Mail que eu conheço - que provavelmente é por que não está definido.
O Thunderbird armazena seu e-mail nesses diretórios:
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~/.thunderbird/<ProfileName>/Mailpara mensagens locais (mensagens enviadas e mensagens obtidas via POP3) -
~/.thunderbird/<ProfileName>/ImapMailpara mensagens IMAP baixadas
Nota: <ProfileName> é o nome do perfil de usuário do usuário do Thunderbird e será semelhante a este: e7d2hvg8.default .