Normalmente, você precisa empregar uma técnica chamada hairpinning para acessar os servidores locais usando o endereço IP externo.
Uma opção mais simples pode ser adicionar uma entrada ao arquivo /etc/hosts
(nesse laptop) que mapeia www.mysite.com para o endereço IP local 192.168.1.10 ou para permitir que o servidor DNS interno faça esse mapeamento.