Normalmente, uma segunda instalação coloca seu gerenciador de inicialização no MBR.
Se ainda inicializar o Ubuntu, execute isto e veja se ele adiciona o Mint ao menu do grub.
sudo update-grub
Se não executar o Reparo de inicialização e postar link para o relatório BootInfo.
Poste o link no relatório BootInfo que isso cria. Faz parte do Reparo de inicialização:
Reparo de inicialização - Também lida com LVM, GPT, inicialização dupla separada / boot e UEFI.: