Normalmente, quando você instala o mysql, ele é configurado para ser executado na inicialização, então eu não sei porque o seu não é. Agora a versão do Ubuntu que você usa também é importante:
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Ubuntu 14.04 e abaixo:
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ativar a execução na inicialização:
sudo update-rc.d mysql enable
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Ubuntu 15.04 e acima:
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ativar no boot:
sudo systemctl enable mysql
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