Tudo parece bem com o seu sistema. Você instalou o Ubuntu ao lado do Windows e é assim que eles são: 2 (separados) sistemas operacionais lado a lado, com a opção de escolher um ou outro quando você inicializa. Um não está dentro ou controla o outro.
Eu acho que sua pergunta deriva da natureza do Wubi, onde o Ubuntu aparece para o Windows apenas como outro programa do Windows e é instalado como um arquivo dentro da partição do Windows. O Wubi não funciona com o 13.04 e o modo Wubi não é como funciona uma instalação regular do Ubuntu.
Aqui está a parte principal que eu acho que vai responder a sua pergunta: Um sistema operacional quando não está executando o computador é apenas uma outra coleção de arquivos em uma partição de disco.
O Windows não pode ler o formato de arquivo do Linux, então você não vê nenhuma evidência do Ubuntu ao navegar pela sua unidade C: \ no Windows. Você pode, no entanto, ver a existência da partição do Ubuntu a partir do Disk Manager nas ferramentas Administrativas, se a sua versão do Windows permitir que você acesse isso.
O Ubuntu, no entanto, pode ler e montar as partições do Windows. Sistema é a partição de inicialização criada pelo Windows. Você deveria deixar isso em paz. A partição de 378 GB é a unidade C: \. Não há informações suficientes aqui para saber o que é a outra partição, mas é provável que seja uma partição de dados D: \ ou uma partição de recuperação do Windows. Você pode decidir que não precisa desta partição e usá-la para outra coisa, mas tenha cuidado e pesquise como seu modelo específico de computador está configurado. Geralmente, você pode encontrar essas informações no site de suporte do fabricante.
Provavelmente não é uma boa idéia montar e abrir arquivos em sua unidade C: \ do Ubuntu com muita frequência. Você pode querer fazer uma partição formatada em NTFS para compartilhar arquivos entre os dois sistemas operacionais, ou você pode usar um pendrive ou drive USB externo.