AFAIU, bcmwl-kernel-source está correto, então sugiro que você o reinstale:
sudo apt-get install --reinstall bcmwl-kernel-source
sudo modprobe wl
Agora, verifique os registros em busca de mensagens informativas:
dmesg | grep wl
Parece que, embora você tenha um kernel 3.16.0-xx (obrigado, @ Jeremy31!), o apt tentou instalar a versão para o Ubuntu 14.04. Sugiro que você remova a versão que não conseguiu instalar:
sudo apt-get purge bcmwl-kernel-source
Faça o download desses pacotes na sua área de trabalho: link e também: link Certifique-se de obter a versão de 32 ou 64 bits, conforme necessário. Descubra com:
arch
Por exemplo, se ele retornar x86_64, você precisará da versão de 64 bits; conhecido em packages.ubuntu como amd64 .
Instale os pacotes com:
cd ~/Desktop
sudo dpkg -i *.deb
sudo modprobe wl
Novamente, observe e poste qualquer erro.