Talvez uma pergunta boba, mas você reiniciou após a atualização para 16.04? Quanto tempo isso tem acontecido que você conhece?
Esta tela branca para o WordPress parece ser um problema de memória. Existem algumas razões pelas quais a "tela branca da morte" pode aparecer. Parece que você tem acesso ao php.ini, o seu limite de memória está configurado para 64M ou 128M? É mais fácil definir no próprio WordPress, com uma linha como:
define( 'WP_MEMORY_LIMIT', '256M' );
em wp-config.php. Se você tiver a RAM de sobra, configure-a em todos os três sites para dar um impulso.
Esta pode ser a razão pela qual não há mensagens de erro, apenas ocasionalmente, e por que as páginas não carregam.
Houve alguma alteração no módulo nginx ou novas alterações?
Eu iria reiniciar, aumentar a memória disponível para o PHP para executar o WordPress, reiniciar o nginx novamente e ver se ele parece voltar ao normal.
Sempre encontrei passos pequenos e simples como esse, que ajudam a diminuir os problemas sem a introdução acidental de novos problemas.