Tente sair de todos os outros usuários no seu navegador da web ou use o Modo Incognito se o seu navegador o tiver (o que tem o efeito de fazer isso). Muitos elogios para Ahmad por me salvar com esta resposta hoje!
Como ele esclareceu (e tanto o glenviewjeff quanto Boynux sugeriram nos comentários ao OP), qualquer uma dessas abordagens parece ajudar por causa de um bug com login de múltiplos usuários. Não importa se todas as contas conectadas recebem permissão para baixar o arquivo; é algo sobre ter mais de uma conta conectada.
Isso aconteceu hoje com arquivos .xlsx no Chrome e no IE11. No IE11, vi o mesmo comportamento que o OP descrito aqui:
"when I pressed the download button, Drive opened another tab in my browser with an Error 403 "Forbidden" on it. ... They also gave me an Error 403."
No Chrome, o comportamento era um pouco diferente (ele abriu uma janela de download, solicitando que eu salvasse um arquivo com uma longa seqüência de números e letras aleatórios e sem extensão de arquivo; clicando em salvar, retornou a mensagem "Falhou - Proibido" no download) na parte inferior), mas o resultado é o mesmo da linha de assunto do OP: o Google Drive não permite que eu faça o download dos meus arquivos.