Sua abordagem parece boa, no entanto, há uma configuração padrão no comportamento que está causando problemas aqui e, provavelmente, fazendo você acreditar que nada está acontecendo.
However, when I try to do so a new window for PuTTY appears, but closes and exits instantly after login
Sua sessão termina imediatamente após o comando ser executado, e o PuTTY fecha a janela por padrão. Veja a documentação do PuTTY sobre como mudar esse comportamento para a sua sessão.
4.1.3 'Close Window on Exit'
Finally in the Session panel, there is an option labelled 'Close
Window on Exit'. This controls whether the PuTTY terminal window
disappears as soon as the session inside it terminates.