A versão de 64 bits é normalmente chamada de 'amd64' porque a AMD desenvolveu as extensões de instrução de 64 bits. (A AMD estendeu a arquitetura x86 para 64 bits enquanto a Intel estava trabalhando no Itanium, mas a Intel adotou posteriormente as mesmas instruções).
A versão de 32 bits é chamada i386, porque a Intel originou o conjunto de instruções de 32 bits usado nesses chips.
Você pode executar a versão de 64 bits em praticamente qualquer chip compatível com x86 de 64 bits e a versão de 32 bits em qualquer chip compatível com x86 moderno.
Dependendo de como você escreve seu software, ele pode ou não precisar ser reescrito para 64 bits. (Geralmente, o software compilado precisará de alterações, mas nem todo software interpretado - por exemplo, Python ou Perl - exigirá alterações.)