Eu resolvi o problema com a ajuda de alguns especialistas em outro fórum. Eu queria deixar essa resposta aqui, caso isso ajude qualquer um de vocês com suas falhas aleatórias.
Essa ladainha de falhas foi, na verdade, causada por temporizações de memória incorretas no BIOS do PC. A grande dica aconteceu depois que digitalizamos a memória pela enésima vez, ela voltou sem problemas e, em seguida, investigamos os logs de eventos do Windows. Descobrimos que até mesmo os serviços padrão do sistema e os aplicativos do usuário estavam travando (o serviço SuperFetch, por exemplo) em intervalos aleatórios.
A solução estava redefinindo o BIOS para as configurações de fábrica (teve que ajustar um jumper na placa-mãe para limpar as configurações). Depois que a redefinição do BIOS foi concluída, o sistema verificou novamente as temporizações da memória automaticamente e carregou os padrões apropriados.
Eu só posso assumir que os timings estavam desligados porque o sistema costumava ter 2 sticks de RAM de outro mfg, e então eu ajustei o BIOS para fazer o overclock do CPU e da memória. Eu removi os 2 sticks originais e instalei 4 novos sem verificar as temporizações da memória ou as configurações do BIOS.
Se você tiver interesse em seguir as etapas que seguimos para chegar ao fim desta edição, leia tudo sobre isso aqui:
Obrigado a todos pelas sugestões!