O Process Monitor revelou que sempre que o Cygwin fazia alguma coisa, tentava abrir todos os diretórios da variável PATH. Havia um par de diretórios em uma unidade de rede no caminho e eu não estou na rede no momento. Parece que o problema aconteceu no passado, quando a rede caiu. Remover as unidades de rede do caminho parece ter curado o problema.