.ost é apenas um cache local, não se destina à recuperação de dados, especialmente se sua conta do Exchange for removida de sua máquina ou a conta for excluída, então normalmente você diria "desculpe" se não exportasse seus e-mails para um .pst, arquivo de backup ou similar e o host de troca não tem uma cópia de backup para você.
Existem ferramentas que podem recuperar itens dele, embora não tenham garantia. Eu usei o Recovery Toolbox for Outlook com algum sucesso para alguns clientes inoportunos pela primeira vez. A última versão que eu comprei tinha problemas salvando corretamente para o arquivo .pst, então o resultado final foi um monte de arquivos simples para importar, mas funcionou para e-mails, contatos e itens do calendário. Eu nunca obtive nenhum resultado útil das ferramentas gratuitas que tentei primeiro, embora isso tenha acontecido há um ou dois anos.