Não estou ciente de nenhuma opção de DHCP para definir uma rota padrão específica nos RFCs de DHCP.
Definir a métrica de rota é a maneira mais geral de lidar com esse tipo de coisa. Se existirem várias rotas para uma determinada rede de destino, a métrica é usada para decidir qual rota deve ser tomada. Eu acredito que você pode alterar a ordem de ligação para as NICs em sua máquina para forçar a NIC pública da LAN a obter automaticamente a menor métrica Rota Padrão.
Edite: pensando duas vezes, tente trocar os cabos. Isso deve mover a NIC de ligação mais baixa da LAN privada para a LAN pública e, se estiver certo, a rota padrão da nova NIC de LAN pública será a métrica mais baixa.