O problema é que Firefox
mantém seu banco de dados bloqueado usando modelo de bloqueio EXCLUSIVO , por isso SQLite Database Browser
não pode gerenciar para abri-lo, para visualizar os dados, uma opção é copiar o arquivo DB e abri-lo daquele local. Ou ainda melhor opção: abra-o programmicaly usando biblioteca SQLite, isso funciona sempre; copiando apenas às vezes.