Você pode chamar seu script e redirecionar "saída padrão" (AKA STDOUT) para um arquivo de log. Use '> >' para anexar ao arquivo de log ou '>' para sobrescrever o arquivo de log. O arquivo será criado (se as permissões do diretório permitirem), se ele ainda não existir. Se o arquivo já existir, verifique se ele é gravável por você (ou por quem quer que execute seu script).
Se você sempre anexar ao arquivo de log ao invés de escrever sobre ele, é uma boa prática garantir que, desde o início, algo "gire" seu arquivo de log, ou seja, mova-o para outro nome e remova o antigo arquivos de log. Se o arquivo de log for exclusivo para seu script, você pode fazer com que o script cuide da rotação do arquivo de log.
Normalmente, a maneira preferida é chamar seu script com STDOUT redirecionado, mas pode haver momentos em que você queira fazer o redirecionamento dentro do próprio script para um ou mais comandos. Você pode adicionar "> > logfile" após qualquer instrução em um script de shell para anexar STDOUT desse comando ao logfile. Você pode mudar isso para "2 > & 1 > > logfile" para anexar ambos "erro padrão" (AKA STDERR) e STDOUT para logfile. Você normalmente não quer que o STDERR também vá para o arquivo de log, já que o STDERR é normalmente usado para notificar o que quer que seja / quem quer que esteja executando o script de um problema. Mas há momentos e situações em que você quer isso. Se quiser, você pode agrupar comandos em seu script dentro de {e} e redirecionar STDOUT de todo o grupo de uma só vez colocando o redirecionamento após a chave de fechamento.