Eu finalmente descobri por que o Firefox não queria mais lembrar senhas.
Eu estava lendo a página de ajuda do Mozilla no Password Manager , e ler onde ele disse" Clicando fora do prompt Lembrar Senha irá escondê-lo. Para trazê-lo de volta, basta clicar no ícone de chave no lado esquerdo da barra de localização " Em vez de uma chave, vejo um bloqueio na minha versão do firefox (15.0.1), então cliquei nela. Isso trouxe algumas informações sobre o jogo. Cliquei no botão "Mais informações" e, em seguida, em "Visualizar senhas salvas". Eu percebi que eu poderia chegar a isso através dos menus, mas notei algo acessando através deste caminho que eu não percebi através dos menus (talvez houvesse lá e eu apenas não os percebi antes, eu não sei) - havia uma entrada para o site que tinha uma senha, mas nenhum nome de usuário. Depois que eu deletei essa entrada, tentei fazer login no site e, em seguida, o Firefox me avisou imediatamente sobre se deveria ou não lembrar as informações de login.
Então, em resumo, se você está tendo problemas com o Firefox não querer lembrar mais senhas, verifique se existe uma senha que não tenha nome de usuário. No meu caso, isso fez com que o Firefox não quisesse mais se lembrar de senhas.