Não, você não pode. Quando o computador está no modo de espera, ele é desligado, exceto pelo fato de a memória ser constantemente atualizada (se você não atualizar a memória, ela será apagada).
Se você deseja executar uma atividade de rede, o computador deve estar ligado para que a CPU possa executar as instruções do aplicativo. Se você quiser economizar energia, sugiro desligar o monitor ou definir configurações de economia de energia em seu sistema operacional (como espera do monitor automático após um período de tempo).
Observe que o aplicativo que você sugeriu provavelmente também desejará acessar um disco rígido ou outro mecanismo de armazenamento.