Supondo que a pilha de rede do sistema operacional aplicou a alteração imediatamente, os pacotes passarão pelo gateway atual.
A rota padrão e o roteamento em geral são somente IP e IP é sem estado. É apenas um movimentador de pacotes. Ou seja, ele recebe um pacote do IP A para o IP B. Não há estado armazenado entre os pacotes, isto é, para o TCP.
O TCP não se importa com qual rota é necessária, o estado do TCP é baseado no IP / Porta de origem e no IP / Porta de destino para que as conexões TCP não sejam interrompidas. Ou seja, a menos que o seu gateway seja um NAT e a mudança de gateways faça com que o pacote IP passe por outro NAT.
O verdadeiro teste desta questão seria configurar o cenário e ver o que acontece, mas suponho que você esteja perguntando por curiosidade.