Apenas indo do que você disse, o que eu tentaria é:
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Teste seu monitor com outro computador ou componente para garantir que ele funcione (se você ainda não sabe).
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Tente conectar sua placa de vídeo ao monitor com um cabo DVI em vez do cabo HDMI, se você tiver um cabo à mão e supondo que seu monitor o suporte.
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Remova a Radeon e desenterre ou peça emprestada outra placa de vídeo para experimentar no seu sistema.
Desde que o computador pareça estar funcionando agora, eu não me preocuparia muito com os bipes que você ouviu na primeira vez que você o inicializou. Se você quiser alguma garantia de que ainda está chegando ao POST em sua fase de inicialização, você pode tentar remover toda a RAM e, em seguida, certificar-se de que ela forneça algum tipo de código de bipe ao tentar ligá-lo.
Boa sorte ...