Quando você estava usando o DHCP para o servidor, ele estava registrando seu nome de host com seu servidor DNS toda vez que obtinha um novo endereço IP. Agora que seu IP é estático, ele não interage com o servidor DHCP e, portanto, o servidor DHCP não pode passar o nome do host para o DNS.
Você precisará fazer isso diretamente. Se o seu roteador (supondo que é o seu servidor DNS) suportá-lo em seu web gui, então você poderá atualizar o arquivo hosts do roteador com o nome do host do servidor.
Se isso não acontecer, mas o servidor DNS no roteador aceitar atualizações da rede local (em oposição a apenas o servidor DHCP), você poderá fazer isso:
sudo apt-get install dnsutils
nsupdate
> update add hostname.domainame 86400 a 192.168.1.101
> send
O "nome de domínio" é qualquer que seja o sufixo DNS local. A desvantagem dessa abordagem é que o roteador perderia a configuração se reinicializado, portanto você desejaria que seu servidor enviasse essa atualização periodicamente por meio de um script e cron.
Se o servidor DNS não aceitar atualizações locais - o que provavelmente não será sua melhor opção, e a melhor solução a longo prazo, será a de executar o DNS a partir do servidor, e não do roteador.
O
bind é o servidor DNS mais usado para o Linux, embora haja alternativas mais leves.
Talvez uma alternativa mais simples seria reverter o servidor para usar o DHCP, mas configure o roteador para alocar o mesmo endereço IP a cada vez. Muitos roteadores suportam essa funcionalidade e significa que o nome do host deve voltar a ser registrado a cada vez.