O erro "Permissão negada" para o diretório de logs provavelmente significa que o usuário do SO que está executando o processo do Tomcat não tem permissão de gravação nesse diretório.
Supondo que você esteja executando o Tomcat com o usuário "tomcat7", tente definir as permissões de propriedade e de sistema de arquivos do diretório de logs, por exemplo:
sudo chown -R tomcat7:tomcat7 /usr/share/tomcat7/logs
sudo chmod -R u+rw /usr/share/tomcat7/logs
Se você estiver executando o Tomcat com um usuário do sistema operacional diferente, substitua tomcat7:tomcat7
pelo nome de usuário e grupo principal desse usuário, respectivamente.