Eu acho que o curl e o cron completariam o trabalho. Algo como isso deve funcionar:
curl -u USERNAME:PASSWORD -d 'connect=Release&refreshScrn=yes' 'http://10.10.1.1/st_dhcp.cgi?id=1044071018'
Você pode ajustar este comando para adicionar cabeçalhos / atributos que o seu roteador exige, então coloque isso em uma tarefa cron (crontab -e), com esta definição de cron:
0 * * * * $COMMAND
em que $ COMMAND é o comando curl acima.