Os detalhes são salvos como um arquivo XML em ~/.config/gedit/ . O arquivo em questão é salvo com o nome saved-sessions.xml .
Não sei dizer se é útil sincronizar este arquivo usando o DropBox, porque tudo que salva no arquivo é o caminho exato do arquivo. Mas, é uma história diferente se você estiver armazenando o mesmo arquivo no mesmo caminho em máquinas diferentes.