IMAP - Protocolo de Acesso à Mensagem na Internet é exatamente como o acrônimo sugere, é somente acesso. O que significa que todas as mensagens permanecem no servidor de e-mail remoto e são carregadas no Evolution quando você clica / solicita a mensagem de e-mail específica.
A menos que você defina uma opção nas suas preferências para fazer o download de uma cópia local das mensagens, tudo o que você está vendo são os cabeçalhos dos e-mails, e não o e-mail propriamente dito.
Se o seu backup de evolution-backup.tar.gz não for grande em tamanho (assumindo 1-3 mb), então você só estava vendo cabeçalhos na sua verificação.
Então basicamente todas as suas mensagens ainda estão no servidor antigo. Se for esse o caso, espero que você ainda possa acessar e receber suas mensagens.
No entanto, se o seu evolution-backup.tar.gz estiver nos 100s de megabytes, as mensagens serão totalmente armazenadas em backup e você precisará importá-las para o novo servidor de correio, em vez do cliente de email. Isso seria realizado através do painel de controle da nova empresa de hospedagem ou se você tiver acesso ao shell para executar um despejo de dados. Além disso, os dados no arquivo evolution-backup.tar.gz precisam estar em um formato compatível.
Em uma nota lateral, seria melhor fazer backup do e-mail pelo painel de controle do 1and1.