É improvável que a bateria seja o problema. Todos os laptops que conheço funcionam bem sem a bateria. Alguns laptops podem ter problemas para funcionar com uma bateria defeituosa - a bateria pode estar certa, mas não consegue fornecer energia suficiente - mas mesmo isso é improvável.
Provavelmente, ou a fonte de alimentação está quebrada, ou o laptop em si (provavelmente algo na placa principal, ou talvez até mesmo o botão liga / desliga;)).Você pode tentar verificar a fonte de alimentação, seja trocando uma boa conhecida (se puder obter uma, por exemplo, de um amigo ou colega), ou medindo sua voltagem (depois de procurar a voltagem esperada). Se isso não acontecer, o laptop está com defeito e precisa ser reparado.
A dificuldade de consertar um laptop varia de fácil a quase impossível, isso depende muito do dano e do modelo. De qualquer forma, a menos que você tenha experiência com reparos eletrônicos, é improvável que você seja capaz de fazer qualquer coisa. Tente encontrar uma pequena loja que lhe dará uma cotação para uma reparação a um preço baixo - ou apenas vender o laptop como defeituoso no ebay ou similar, você ainda pode obter algumas dezenas de $ ou € por isso.