Isso pode ser várias coisas.
1) Sua NIC não está circulando corretamente a conexão na reinicialização. Atualize suas unidades de placa de rede e drivers de chipset (eles podem estar influenciando isso também).
2) Seu roteador pode não estar executando corretamente o seu servidor DHCP. Procure uma atualização de firmware da Linksys.
3) O firmware do seu roteador é de beliche (provável). Considere a atualização para o firmware de 3rd-wrt 3rd party ou para o firmware 3rd party. Tomate é muito bem feito, e eu sei que suporta o seu modelo. O DD-WRT suporta uma variedade muito maior de dispositivos. Ambos os firmwares são ótimos, mas se você é novo em usar firmware de terceiros, recomendo trabalhar com o DD-WRT. Não se preocupe, se você errar, os dispositivos linksys (como esse) têm muitos failafes para permitir que você recarregue um firmware de trabalho, mesmo que você tenha quebrado uma atualização de firmware.
4) Seu cabo está danificado e a conectividade é limitada.
5) Você tem algum tipo de falso software anti-vírus nocivo, que é superprotetor, como o Norton.