Com uma PSU de 350W, um adaptador gráfico discreto e os sintomas que você está descrevendo, parece que você pode estar desenhando demais com as duas placas adicionais de uma só vez.
Geralmente usamos 425W como mínimo para qualquer computador com dois discos rígidos ou um HDD e uma placa de vídeo, pois os 350Ws são sempre muito limítrofes. Então, como "minúsculo", como o NIC pode ser, ainda pode ser o suficiente para derrubar a balança e evitar o POST, pelo menos na minha opinião.
A primeira coisa que faço é conectar uma PSU de 500 W e ver como funciona.