Sim, claro. Basta fazer o login (canto superior direito .. meio escondido) no site do Dropbox e lá vai você.
(Você só precisa de um navegador, nenhum plugin, nenhuma instalação.)
Eu agora trabalho em máquinas linux que não tenho administração, então não posso instalar o dropbox. existe alguma maneira de baixar alguns arquivos da caixa de depósito (por WWW)?
Sim, claro. Basta fazer o login (canto superior direito .. meio escondido) no site do Dropbox e lá vai você.
(Você só precisa de um navegador, nenhum plugin, nenhuma instalação.)
Como mencionado em outras respostas, você pode simplesmente fazer login no seu Dropbox na interface do website .
Como alternativa, se você colocar arquivos em sua pasta "Public", nem precisará fazer login. Você pode acessar os arquivos diretamente. Tudo o que você precisa fazer é obter o link direto para o arquivo clicando com o botão direito do mouse nele. Esta página explica como.
Você pode fazer login no site da caixa de depósito e visualizar e baixar seus arquivos lá.