Você pode usar o comando date .
date >> my_file.txt
Em que my_file.txt é o arquivo para colocar o registro de data e hora.
Veja a página de manual para strftime(3) ( man 3 strftime ) para ver alguns formatadores de data que você pode usar. Por exemplo:
date +%l:%M >> my_file.txt
Produzirá algo como 9:37 (Hour: Minute) no arquivo de texto.