Eu descobri que existe uma maneira realmente boa de fazer isso. O Outlook 365 tem na versão do portal da web do Office uma regra de "varredura" que pode ser executada periodicamente por meio da caixa de entrada de limpeza de e-mail. A opção útil que encontrei foi excluir todos os emails com mais de um dia de um determinado destinatário.
Consegui limpar minha caixa de entrada sem que o Outlook fosse executado na minha área de trabalho em questão de horas.
Como configurar uma regra de varredura do lado do servidor para o Outlook 365