Não, os cabos HDMI não suportam essa funcionalidade.
HDMI tem um backchannel ( CEC ) que, em princípio, pode ser usado para transportar sinais de mouse e teclado, mas eu não sei de nenhum hardware que realmente o use para isso. Você pode ser capaz de usá-lo dessa maneira em hardware que você mesmo construiu, mas é extremamente improvável que seu monitor o suporte.
Os monitores às vezes têm um hub USB integrado para mouse e teclado e exigem um cabo USB de volta para os computadores.