Você tem duas opções:
Use a opção --skip-lock-tables
mysqldump. Suas tabelas não serão bloqueadas, mas seu backup pode não ser consistente (depende do seu esquema: se as transações do banco de dados tocarem várias tabelas de uma só vez e uma tabela já estiver em backup e outra não. Por exemplo: duas tabelas: clientes e os pedidos. Se for feito o backup dos clientes primeiro e depois o novo par cliente / pedido for inserido, você poderá acabar com o pedido sem o cliente no seu backup).
Esse problema é a principal razão pela qual o mysqldump bloqueia todas as tabelas por padrão. Se esse problema não se aplicar a você, pular o bloqueio de tabelas no mysql é a solução mais simples.
Use algum outro método de backup. Por exemplo: Limpe as tabelas com o bloqueio de leitura, crie um instantâneo do LVM, desbloqueie tabelas, monte seu instantâneo do LVM e faça o backup de seus dados. Isso é rápido, muito mais complexo que o simples mysqldump. Google "backups mysql com instantâneos LVM", existem muitos scripts e tutoriais disponíveis.
Se seus dados do MySQL não estiverem em um volume LVM, você pode criar um servidor MySQL escravo e fazer o backup, sem tocar no mestre, portanto, o bloqueio ocorre no escravo e o mestre está sempre livre.