O POP3 não suporta pastas de e-mail e só baixará mensagens de "INBOX". 1
Você terá que alternar para IMAP para acesso de email - ele apresenta a mesma estrutura de pastas que no servidor, para que você possa ver exatamente as mesmas mensagens em Claws e SquirrelMail. (Se você quiser manter uma cópia local de todas as mensagens, o Claws pode armazená-las no disco (como qualquer outro cliente), ou você pode usar o OfflineIMAP.)
Como alternativa, configure o SquirrelMail para salvar suas mensagens enviadas na Caixa de entrada.
1 O Gmail é uma exceção. Ele não tem pastas reais e usa um servidor POP3 altamente personalizado, e é por isso que ele pode mesclar "INBOX" e "Sent" para o POP3.