UPDATE: Se você estiver usando o IMAP (de acordo com sua pergunta atualizada), isso não é possível. Não é como o IMAP funciona. O IMAP é projetado para se comunicar com um servidor central, onde todos os seus e-mails são armazenados. Isso permite que vários clientes de e-mail coletem e processem facilmente seus e-mails, mantendo tudo sincronizado. O que você vê na sua área de trabalho local é apenas uma "cópia" local que é sincronizada com este servidor central.
Se você quiser baixar seu e-mail para um único computador desktop e removê-lo do servidor, será necessário conectar-se à sua caixa postal usando o POP3 e seguir as instruções abaixo.
Infelizmente, no Thunderbird você não pode simplesmente alterar uma conta usando IMAP para POP3, você precisará adicionar uma nova conta POP3 no Thunderbird com as configurações POP3 apropriadas.
Usando POP3 , no Thunderbird, em "Configurações do servidor" da conta em questão, verifique se "Deixar mensagens no servidor" está desmarcado.
Se você estiver acessando seu e-mail via POP3, não deverá haver outras configurações do servidor (por exemplo, cPanel) que exijam configuração.