Verifique primeiro se o Java já está instalado:
java -version
Se a resposta indicar uma positiva (conforme mostrado abaixo)
java version "1.7.0_51"
Java(TM) SE Runtime Environment (build 1.7.0_51-b13)
Java HotSpot(TM) 64-Bit Server VM (build 24.51-b03, mixed mode)
Então você está na sorte, companheiro! Você pode continuar para a próxima etapa
Se não, então; (Eu uso o PPA da WebUpd8 Team para facilitar a instalação)
sudo add-apt-repository ppa:webupd8team/java
sudo apt-get update
sudo apt-get install oracle-java7-installer
Depois de instalar o Java7, extraia o FlashTool tar.gz e, em seguida, o tar para alguma pasta (neste caso, utilizarei o Desktop)
sudo bash
cd Desktop
cd FlashTool
./ FlashTool
aproveite e lembre-se - Saia do terminal depois de sair do Flashtool