Eu tropecei na solução, mas não tenho conhecimento para entender por que ela funciona assim ...
Primeiro de tudo, não é necessário executar o VS no modo de administrador.
Em segundo lugar, existem duas opções mínimas de web.config ...
<configuration>
<system.web>
<compilation debug="true" targetFramework="4.5" />
<httpRuntime targetFramework="4.5" />
</system.web>
<system.webServer>
<!-- ***EITHER***Enable BrowserLink will run after one refresh with only this!-->
<modules runAllManagedModulesForAllRequests="true" />
<handlers>
<!-- ***OR*** Enable BrowserLink will run after one refresh with only this!-->
<add name="Browser Link for HTML" path="*.html" verb="*"
type="System.Web.StaticFileHandler, System.Web, Version=4.0.0.0, Culture=neutral, PublicKeyToken=b03f5f7f11d50a3a"
resourceType="File" preCondition="integratedMode" />
</handlers>
</system.webServer>
</configuration>
Em terceiro lugar, depois de executar a página (usando Browse With ... OR diretamente), a página precisa ser atualizada uma vez em um navegador. Depois disso, ele corre bem para o resto da sessão do VS.
A primeira vez que carrega, o link do navegador html está lá, mas o script não consegue carregar.
Mas depois de uma atualização da página em qualquer um dos navegadores que a executam, tudo funciona ... para o resto da sessão do VS. Da próxima vez que iniciar o VS, tenho que repetir o processo.