A maioria dos modems tem um servidor DHCP oculto embutido. Isso pode ser visto em uma página da Web administrativa oculta, se você souber como acessá-lo. Seu roteador está obtendo seu IP externo através do DHCP do modem. Como esses modems domésticos têm um dispositivo conectado a eles - o roteador -, ele armazena o MAC do roteador. Se você tivesse que conectar outro dispositivo, que teria um MAC diferente, ele não se comunicará com o novo dispositivo até que seja redefinido com uma reinicialização ou usando a página administrativa oculta. Este é um recurso de segurança que impede que as pessoas desconectem seu roteador e ponham algo mais na / na rede
Agora estou curioso, por que você tem para substituir seu roteador a cada poucos anos?