O que você precisa fazer é não carregar a página, preencher o formulário e enviá-lo - mas apenas enviar os mesmos dados diretamente para o mesmo local que o envio manual do formulário normalmente faria.
Se você olhar para o JS nessa página, em algum momento ele fará um form.submit ou um ajax será enviado para um URL. O que você precisa fazer é colocar os mesmos dados diretamente no mesmo URL que o formulário, mas usando CURL / WGET.
Aqui estão algumas respostas que explicam como fazer isso e como descobrir quais dados você precisa enviar: