Sim, não há problema em deixar o USB ou outras unidades externas conectadas e ligadas.
Os discos rígidos dos discos rígidos externos são exatamente os mesmos discos rígidos do seu computador ou laptop.
Mantê-los ativados não deve ser um problema.
Nunca vi um disco rígido externo / gabinete superaquecer. Tenho certeza que é possível, mas deixá-los na noite, se o caso não estiver quente de manhã, você está pronto para ir.