A maneira mais fácil e independente de navegador para verificar qual ip um host resolve seria digitar ping <domain.com> em um prompt de comando, por exemplo, ping google.com .
A maneira mais universal seria configurar um proxy pequeno, como Proxomitron (livre), Fiddler (livre, somente IE), Privoxy (código aberto) ou Charles (30 dias de teste) - então você será capaz de ver tudo para qualquer navegador.
No proxomitron a opção foi chamada de Log Window ou algo parecido.
Se você quiser ir mais longe até o nível tcp e abaixo, o WireShark + WinPcap pode ajudar, mas isso provavelmente será um exagero para as suas necessidades.