O único problema aqui poderia estar ficando sem memória ou congestionamento de rede de ter uma página de transferência de dados intensiva aberta no outro navegador (por exemplo, reprodução de vídeo do youtube ou streaming de áudio). A execução de mais de um navegador da web não relacionado por vez não é certamente um problema.
Resposta curta (todos os requisitos de memória e processador de lado): Não.