Sim, a interface HDMI suporta detecção, no entanto, nem todas as marcas de monitores e / ou versões de driver suportam isso.
Por exemplo, tenho um computador conectado a dois monitores e um é um monitor Sharp mais antigo que não fica em branco quando conectado a HDMI, mas fica em branco quando se usa VGA ou DVI. Meu outro monitor Asus fica sem espaço com HDMI, então eu uso o cabo HDMI para o Asus e o cabo DVI para a Sharp. Desta forma, ambos monitores em branco quando eu desligo o meu computador.
Quanto a se há algo que você possa fazer sobre isso, provavelmente não tem nada a ver com o seu computador, é mais provável que seja o software do monitor. Veja se você pode atualizar isso, caso contrário, tente um tipo de conector diferente.