Isso é mais uma pergunta do AD do que uma pergunta do SQL, mas ...
Em quem a aplicação está sendo executada e o que você está tentando fazer?
Ao especificar que DOMAIN \ nomedocomputador $ tem permissões completas, você está sugerindo que LocalSystem (NT Authority \ System) ou NetworkService é a conta que executará esse processo.
(Geralmente, é recomendável usar uma conta de serviço ou conceder permissões para logins individuais.)
Se você especificou que o processo está sendo executado como LocalService, ele não passa as credenciais da máquina.